n(n-1)模型在平行线中的应用

情境1

有15个同学为了表示问候每两个同学都要握手一次，问这些同学一共握手多少次？

这道题要是一个一个去算，就比较麻烦。我们可以理解：

有n个同学，每个同学都要与其余（n—1）个同学握手一次思考，为什么要减1，因为自己不跟自己握手哦！

这样就握手n（n—1）次，但握手次数都重复一次，因此n个人总共握手n（n-1)÷2次。

所以这15个同学一共握手15x（15—1）÷2＝105次。

情境2

这15个同学互换礼物，问一共需要交换多少次礼物？我们可以理解：

有n个同学，每个同学都要与其余（n—1）个同学交换一次礼物，思考，为什么要减1，因为自己不跟自己交换！

这样总共就交换n（n—1）次礼物，不存在重复问题，因此n个人总交换n（n—1）次礼物．

所以这15个同学一共交换15x（15—1）＝210次礼物。

结论

两个条件总共有一种情况为：n（n-1）÷2

两个条件总共有两种情况为：n（n—1）

类 型 一

2条直线相交只有1交点，3条直线相交最多有3交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点……，n条直线相交最多有多少个交点？

分析：每两条线相交只有1交点，

满足两个条件(两条直线)总共有一种情况(1个交点)模型。

所以n条直线相交交点个数最多为：n（n-1）÷2

类 型 二

观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）：

（1）如图a，图中共有______对对顶角；
（2）如图b，图中共有______对对顶角；
（3）如图c，图中共有______对对顶角。
（4）若有n条直线相交于一点，则可形成______对对顶角。（用含n的式子表示）

分析：每两条线相交构成2对对顶角，

满足两个条件(两条直线)总共有两种情况(两对对顶角)模型为n(n-1)

答案

（1）有2对对顶角；
（2）有6对对顶角；
（3）有12对对顶角；
（4）有n条直线时，有n（n—1）对对顶角；

变式

n条直线相交于一点，则可以形成2n(n-1)对邻补角

类 型 三

（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有＿___对，内错角有＿_____对，同旁内角有_____对。

（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有＿___对，内错角有＿____对，同旁内角有＿____对。

（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有＿____对，内错角有_____对，同旁内角有＿____对.（用含n的式子表示）

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